摘要
本論文是在研究三角形的雙曲線的理論。 第一節中，我們先證明兩個平面幾何中的猜想，為研究這兩個事實的一般理論，我們定義三角形 相關於 （ ）頂點 、 、 的伴點 、 、 ,伴線 、 、 ，再經由伴線去定義 相關於適當 的伴心。我們想瞭解給定一三角形 所有伴心所成的集合 。當 為正三角形時， 是 的重心所成的集合，當 為非正三角形的等腰三角形時， 是底邊的中垂線。第一節最後，我們介紹正規三角形，它們是經標準化後位於標準位置的非等腰三角形。 在第二節中，我們用解析幾何中的技巧研究非等腰三角形的伴心理論。我們得出正規三角形的伴點的坐標公式，伴線的方程式以及伴心坐標公式。透過伴心軌跡方程式我們得到主要結果如下：非等腰三角形 的伴心所成的集合 是一個通過三頂點 、 、 及重心 唯一的等軸雙曲線，稱為 的雙曲線。我們也定義正規三角形 的伴角 、 ，他們與 的雙曲線的漸近線 、 有密切的關係。 最後我們也提及第二節的方法也可以用來解一般三角形的相關問題，不限定非等腰三角形。
並列摘要
The purpose of this thesis is to study the theory of hyperbolas of triangles. In section 1, we prove two conjectures in plane geometry, then, in order to study a general theory of these special facts, we define the companion points 、 、 , the companion lines 、 、 , of the vertices 、 、 , respectively, of a triangle associated with , where , and we use the notion of companion lines to define the companion center of associated with some suitable . We are interested in the set of all companion centers of a given triangle . is the set of the barycenter of if is a regular triangle, and is the perpendicular bisector of the base if is a nonregular isosceles triangle. We conclude section 1 by introducing normalized triangles, they are normalizations of nonisosceles triangles to stand positions. In section 2, we use skills in analytic geometry to study the theory of the companion centers of nonisosceles triangles. For normalized triangles, the coordinates of their companion points, the equations of their companion lines and the coordinates of their companion centers are obtained if they exist. As the equation of the curve determined by companion centers shows, our main result is that the set of all companion centers of a nonisosceles triangle is the unique equilateral hyperbola, called the hyperbola of , passing through the vertices , , and the barycenter of . We also define the companion angles and of a normalized triangle , there is no companion centers associated with companion angles and they are close related to the asymptotes and of the hyperbola of the nonisosceles triangle . We finally mention that one may apply the methods used in section 2 to general cases, not necessarily nonisosceles triangles.