Functions' algebra in nonlinear control: computational aspects and software

Funktsioonide algebra mittelineaarsete juhtimis usteemide uurimisel: arvutuslikud aspektid ja tarkvara

Juri Belikov ； Arvo Kaldmäe ； Vadim Kaparin ； Ülle Kotta ； Alexey Ye. Shumsky ； Maris Tõnso ； Alexey Zhirabok

《Proceedings of the Estonian Academy of Sciences》 66卷1期 (2017/03) Pp. 89-107

https://doi.org/10.3176/proc.2017.1.06

摘要

The paper describes the Mathematica-based software for studying nonlinear control systems. The software relies on an algebraic method, called functions' algebra. The advantage of this approach, over well-known linear algebraic and differential geometric methods is that it is applicable to certain non-smooth systems. The drawback is that the computations are more complicated since the approach manipulates directly with the functions related to the system equations and not with the differential one-forms/vector fields that simplify (linearize) the computations. We have implemented the basic operations of functions' algebra, i.e., partial order, equivalence, summation, and multiplication, but also finding the simplest representative of an equivalence class. The next group of functions is related to the control system and involves binary relation, operators m, M, and computation of certain sequences of invariant vector functions on the basis of system equations. Finally, we have developed Mathematica functions, allowing us to solve the following control problems in case of discrete-time systems: checking accessibility, static state feedback linearization, and disturbance decoupling.

關鍵字

nonlinear control systems ； discrete-time systems ； functions' algebra ； symbolic computation

並列摘要

On kirjeldatud Mathematica keskkonnas valjatootatud tarkvara (ja selle aluseks olevaid algoritme), mis realiseerib matemaatilisel lahenemisel, mida nimetatakse funktsioonide algebraks, pohinevaid meetodeid mittelineaarsete juhtimissusteemide valdkonnas olevate probleemide lahendamiseks. Antud lahenemise eelis tuntud diferentsiaalgeomeetria ja diferentsiaalsetel 1-vormidel pohinevate meetoditega vorreldes on rakendatavus ka mittesiledatele susteemidele. Puuduseks on arvutuste suurem keerukus, kuna lahenemine opereerib vahetult susteemi kirjeldavate funktsioonidega ja mitte nende diferentsiaalidega, mis lihtsustavad (lineariseerivad) arvutusi. Tarkvaraliselt on realiseeritud funktsioonide algebra pohioperatsioonid ja seosed, nagu osaline jarjestus, ekvivalents, liitmine ning korrutamine, aga ka lihtsaima esindaja leidmine ekvivalentsiklassis. Teine suur ruhm Mathematica funktsioone on seotud juhtimissusteemiga defineeritud binaarse suhte ja operaatoritega m ning M, aga ka teatud invariantsete funktsioonide jada leidmisega susteemi vorrandite pohjal. Kolmas hulk funktsioone lahendab hulga juhtimisulesandeid diskreetsete mittelineaarsete juhtimissusteemide jaoks, nagu juhitavuse kontroll, staatilise olekutagasisidega olekuvorrandite lineariseerimine ja hairingute dekomponeerimine valjundtagasisidega. Artiklis toodud naited demonstreerivad tarkvara kasutamist.