A Study of the First Two Eigenvalues of String Equation with Linear Density and Related Problems

具線性密度函數弦方程之前二個特徵值與相關問題探討

蔡宗謀(Tzong-Mo Tsai)

《通識教育學報》 5期 (2017/12) Pp. 137-150

https://doi.org/10.6517/MCUT.201712_(5).0008

摘要

For string equations with linear density functions, y'' + λ(ax + 1)y = 0, y(-1/2) = y(1/ 2) = 0, and for Sturm-Liouville equations with linear potentials, z''+ (μ-ax)z = 0, z(-1/ 2) = z(1/ 2) = 0, the first eigenvalue λ_1 is a strictly decreasing function of the slope a, the second eigenvalue λ_2, the ratio λ_2/λ_1, the gaps λ_2 -λ_1 andμ_2-μ_1 between the first two eigenvalues of these two equations are strictly increasing functions of the slope a for 0 ≤ a ≤ 2.

關鍵字

String equation ； Sturm-Liouville ； eigenvalue ； eigenfunction ； nodal point ； eigenvalue ratio ； eigenvalue gap

並列摘要

對於具有線性密度函數的弦方程式y'' + λ(ax + 1)y = 0 與y(-1/2) = y(1/ 2) = 0，與對於具有線性勢函數的史篤－李維爾方程式z''+ (μ-ax)z = 0與z(-1/ 2) = z(1/ 2) = 0。我們證明了第一個特徵值λ_1為直線斜率a的嚴格遞減函數，第二個特徵值λ_2、前二個特徵值的比值λ_2/λ_1、前二個特徵值的差λ_2 -λ_1並且與μ_2-μ_1均為直線斜率a的嚴格遞增函數。

並列關鍵字

弦方程式 ； 史篤－李維爾方程式 ； 特徵值 ； 特徵函數 ； 節點 ； 特徵值比值 ； 特徵值差