二維結的平滑化

Smoothings of Knot Diagrams for 2-dimensional Knots

王以晟(Yi-Sheng Wang)

指導教授 ： 楊樹文 ； 李瑩英

國立臺灣大學/理學院/數學研究所/碩士(2011年)

https://doi.org/10.6342/NTU.2011.02045

摘要

在 Khovanov's theory 中，利用結的平滑化， 得到了一個chain complex, 更進一步的可以得到一個結的不變量，稱它為Khovanov's homology。
但在 Bar-Natan 教授的一篇文章中，曾用另一個方式重新解釋這個chain complex，他先不將每一個平滑化的圖，看作向量空間，反而用cobordism作為它的 differential。這是一個更抽象的chain complex,但很特別。這似乎是從一個更原始的角度來看此種chain complex。
本文描述了我們將這個方法推廣到曲面嵌入四維空間(2-knots)的一些結果及遇到的困難，其中也包括如何平滑化曲面圖和一些在 Roseman moves 間的 chain homotopy equivalence。

關鍵字

結的不變量 ； 二維結 ； 二維結的平滑化

並列摘要

The Khovanov's homology is the most powerful knot invariant up to now. In [1], Prof. Bar-Natan gives a new idea to interpret the Khovanov's homology. We wonder whether we can mimic his method and apply to the 2-dimensional knots. In this article, we present some results we found, and some difficulties we encountered.

並列關鍵字

knot invariant ； 2-knots ； smoothings of 2-knot diagrams

參考文獻

[1] D. Bar-Natan, Khovanov's homology for tangles and cobordisms, Geometry and Topology 9 (2005) 1443-1499.

[2] D. Bar-Natan, On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic and Geometric Topology 2-16 (2002) 337-370.

[3] J.S. Carter,M. Saito, Knotted surface and their diagrams, Mathmatical Surveys and Monographs 55,

[4] L.H. Kauffman, State models and the Jones polynomial,

Topology 26-3 (1987) 395-407.