在對稱群上的特徵標

On Characters of Symmetric Groups

黃子豪(Zih-Hao Huang)

指導教授 ： 于靖

國立臺灣大學/理學院/數學研究所/碩士(2018年)

https://doi.org/10.6342/NTU201800842

摘要

令 p 為一個質數，G 為一個有限群，且 G^(p) 為收集 G 的元素中所有滿足元素的階 (order) 和 p 互質的元素。如果對於所有的 G 的不可約特徵標 (irreducible character) X，都沒辦法找到一個大於 1 的自然數 a 和一個 G 的不可約 p-模特徵標 φ (irreducible p-modular character)使得 X|_{G^(p)} = aφ，那我們就會說G有 (L ', p)-性質 ((L ', p)-property)。如果對於所有的 G 的不可約特徵標 X，都能找到一個 G 的不可約 p-模特徵標 φ 使得 X|_{G^(p)} ≥ φ with multiplicity 1，那我們就會說 G 有 (L ' ', p)-性質 ((L ' ', p)-property)。又如果對於所有的質數 p，G 恆有 (L ' ', p)-性質，那我們就會說 G有 L ' '-性質 (L ' '-property)。

在這篇碩士論文中，我們想要證明所有的對稱群 (symmetric groups) 都有 L ' '-性質；所有的交錯群 (alternating groups) 都有 (L ' ',2)-性質；且對於所有比 2 大的質數 p，所有的交錯群都有 (L ', p)-性質。

關鍵字

對稱群 ； 交錯群 ； 特徵標 ； p-模特徵標 ； (L ,p)-性質 ； L -性質

並列摘要

Let p be a prime number, G be a finite group,and G^(p) be the set of all g ∈ G such that p ∤ ord(g). We say G has the (L ', p)-property if for any irreducible character X of G, X|_{G^(p)} ≠ aφ for any irreducible p-modular character φ of G and any a∈N with a > 1. We say G has the (L ' ', p)-property if for any irreducible character X of G, there exists an irreducible p-modular character φ of G such that X|_{G^(p)} ≥ φ with multiplicity 1. We say
G has the L ' '-property if G has the (L ' ', p)-property for all p.

In this thesis, we want to show that all symmetric groups have the L ' '-property, all alternating groups have the (L ' ',2)-property, and all alternating groups have the (L ', p)-property for all prime p > 2.

並列關鍵字

symmetric groups ； alternating groups ； character ； modular character ； (L ,p)-property ； L -property

參考文獻

References

[B] D. Benson, Spin Modules for Symmetric Groups, Journal of the London Mathematical Society, s2-38(2), 250-262, 1988.

[CR] C. Curtis and I. Reiner, Methods of Representation Theory I, II. Wiley-Interscience 1981.

[F] W. Fulton and J. Harris, Representation Theory: A First Course, Springer GTM.

[F1] M. Fayers, On the Irreducible Representation of the Alternating Group which Remain Irreducible in Characteristic $p$, Representation Theory Amer. Math. Soc., 14, 601-626, 2010.