關於費馬簇和費馬型阿貝爾簇的霍奇猜想之研究

A study of the Hodge conjecture on Fermat varieties and abelian varieties of Fermat type

汪維倫(Wei-Luan Wang)

指導教授 ： 鄭志豪

國立清華大學/理學院/數學系/碩士(2019年)

摘要

霍奇猜想是代數幾何中基本的問題。在1979 年時，Shioda 提出了一個算術條件來
驗證在費馬簇上的霍奇猜想。我們將這個條件切分為較為簡單的子問題，並且實作了
一個演算法來驗證霍奇猜想對於次數是21 的費馬簇會成立。這個次數是21 的例子在
1979 年只有部分的答案。除了費馬簇之外，另一個有關的主題是費馬型阿貝爾簇的霍
奇猜想。對於某些特定的次數，我們提出了一個霍奇類是標準元素之線性組合的必要
條件。

關鍵字

霍奇猜想 ； 費馬簇 ； 費馬型阿貝爾簇 ； 演算法

並列摘要

The Hodge conjecture is a fundamental problem in algebraic geometry. In 1979, Shioda proposed an arithmetic condition on verifying the Hodge conjecture for Fermat varieties. We divide the condition into simpler subproblems and implemented an algorithm to verify the Hodge conjecture for Fermat variety of degree 21. This case was only partially answered in 1979. Besides the Fermat varieties, a related topic is the Hodge conjecture for abelian varieties of Fermat type. For some specific degrees, we provide a necessary condition for a Hodge class to be a linear combination of “stadard elements”.

並列關鍵字

Hodge conjecture ； Fermat varieties ； abelian varieties of Fermat type ； algorithms

參考文獻

[1] N. Aoki, Simple Factors of the Jacobian of a Fermat Curve and the Picard Number of a

Product of Fermat Curves, American Journal of Mathematics, 113 (1991), pp. 779–833.

[2] N. Aoki, Hodge Cycles on CM Abelian Varieties of Fermat Type, Commentarii Mathematici

Universitatis Sancti Pauli, 51 (2002), pp. 99–129.

[3] J. D. Lewis, A survey of the Hodge conjecture, American Mathematical Society, second ed., 1999.