(a,b)-凸函數

(a,b)-Convex Functions

林文化(Wen-Hua Lin)

指導教授 ： 李金城

中原大學/理學院/應用數學系/碩士(2008年)

https://doi.org/10.6840/CYCU.2008.00018

摘要

摘 要

本篇論文所提的(a,b)-凸函數這個理論最早是在1987年由Norbert Kuhn【1】這位數學家所提出，文中主要在探討(a,b)-凸函數的構造和性質。在1992年由Zygfryd Kominek【2】發表的文章中提及在適當的條件下會使得函數f 根本是個常數函數。
給定ㄧ函數f 後，我們首先定義K’(f)、K(f) 和 A’(f)這三個集合：
(Ⅰ) K’(f) ＝﹛(a,b)€(0,1)×(0,1) | f 是(a,b)-凸函數﹜
(Ⅱ) K(f) ＝﹛a€(0,1) | f 是a-凸函數﹜
(Ⅲ) A’(f)＝﹛(a,b)€(0,1)×(0,1) | f 是(a,b)-仿射函數﹜
接著我們討論關於K’(f)、K(f) 和A’(f) 這三個集合的性質並藉此了解(a,b)-凸函數的構造和性質。進而我們得到：若f：I→[－∞ ,∞ )是連續的(a,b)-凸函數，則f 是凸函數；還有在(a,b)€K’(f)，a≠b
而且a€Q，則f 是常數函數。

關鍵字

(a ，b)-仿射函數 ； a-凸函數 ； (a，b)-凸函數

並列摘要

Abstract

The theory of (a,b)-convex functions was introduced by Norber Kuhn in 1987【1】.Kuhn focused mainly on the structure and the properties of (a,b)-convex functions.And we generalize a result raised by Zygfryd Kominek in 1992【2】.He would like to know on what conditions under which an (a,b)-convex function
is a constant function.
Given a function f：I→[－∞ , ∞），we define the following three sets：
(Ⅰ) K’(f)＝﹛(a,b)€(0,1)×(0,1) | f is an (a,b)-convex function﹜
(Ⅱ) K(f)＝﹛a€(0,1) | f is an a-convex function﹜
(Ⅲ) A’(f)＝﹛(a,b)€(0,1)×(0,1) | f is an (a,b)-affine function﹜
We proceed to discuss the properties of these sets K’(f)、K(f) and A’(f).Then we show that，if f：I→[－∞ , ∞）is a continuous (a,b)-convex function，f is a convex function. Finally we prove that，if (a,b)€K’(f)，a≠b and a€Q ，then f is a constant function.

並列關鍵字

(a， b)-convex function ； a-convex function ； (a， b)-affine function

參考文獻

【1】Norbert Kuhn (1987). On the structure of (s,t) - convex functions. International Series of Numberical Mathematics. Vol.80 .

【2】Zygfryd Kominek (1992). On (a,b)–convex functions.

Arch. Math. Vol.58, 64-69 .

【4】Norbert Kuhn (1984) . A note on t-convex functions.

General Inequalities 4 , 269-276 .