國 中 生 線 型 函 數 概 念 發 展 之個案研究

吳淑琳(Wu Shu-Ling)

指導教授 ： 曹博盛

國立臺灣師範大學/理學院/數學系/碩士(2000年)

摘要

本研究主要是以Pirie與Kieren的「數學理解的成長的動態理論」來探討兩名國二學生，Lily和珊珊，的線型函數概念的發展情形。
本研究的待答問題包括：一、學生的學習過程是否出現動態、非線性、遞迴的現象？二、學生概念發展過程中有哪些師生或同儕的互動或個人的因素（如學習態度、學習方法）的涉入？這些因素對學生的概念發展產生什麼影響？三、概念發展的過程中，學生在各層次上有哪些錯誤的學習結果？
本研究採用了隨堂觀察、施以試卷及請學生做「概念圖」和訪談等來蒐集資料，用以回答本研究的待答問題。
本研究的主要研究結果為：（一）Lily和珊珊的概念發展都有出現動態、非線性、遞迴的現象。
（二）概念發展的過程中，Lily在各層次上錯誤的學習結果如下。層次一：1.計算錯誤，2.乘方問題的錯誤，3.坐標平面結構的錯誤，4.將點的位置填錯；層次二：1.對於常數函數，只能完成表列的第一列，但無法做表列的第二列，2.將表列式的結果在坐標平面上標出時，發生（1）點在x軸上方或下方的錯誤，（2）點在鉛直線上或水平線上的錯誤；層次三：以為1.線型函數y=f(x)的自變數是沒有範圍限制的，2.任意兩點所形成的直線上，該兩點間的點是數不清的，但也有一定的限度，3.點圖和直線都是被給定的線型函數的圖形，4.函數圖形要有形狀，點圖沒有形狀，所以點圖不可能是函數的圖形，5.將合於y=f(x)關係的「一部份的點(x, y)」描畫出來所得到的圖形就是函數f(x)的圖形，而且畫函數圖形時必須將所描的點用線段連起來，6.因為q(a)=b，就認為(a, b)是函數q(x)與y軸的交點，7.看不懂形如(a, f(a))這樣的符號；層次四：無法呈現被給定的常數函數的圖形；層次五：1.函數的一般式是錯誤的，2.不了解自己記憶中之函數的一般式的係數之意義，3.不了解「線型函數」之「線型」二字所隱含的意義，4.函數的名稱、圖形與代數式配對上的混淆；層次六：以為對函數f（x）＝ax＋b，自變數增加一單位時，函數值會跟著增加b單位；層次七：在我們整個研究期間內，Lily除了能夠「解釋為何f(x)=ax+b是y=ax+b的另一種表示方式」外，其它各項都只是對形式化的結果有所觀察，但未達到層次七的要求；層次八：在研究期間我們看不到Lily有這方面的發展。
珊珊在各層次上錯誤的學習結果如下。層次一：1.計算錯誤，2.文字符號使用上的錯誤，3.填錯，4.將點的位置填錯；層次二：1.對常數函數的表列式中是x為定值，或是y為定值感到遲疑，2.無法正確完成該層次所對應的數學內容；層次三：1.以為將合於y=f(x)關係的「一部份的點(x, y)」描畫出來所得到的圖形就是函數f(x)的圖形，2.點圖和直線這兩種圖形是一樣的，它們都是被給定的線型函數的圖形，3.由兩個點所形成的點圖是直線這種圖形的圖形，4.對點圖和直線圖形認知上的迷思，5.將合於y=f(x)關係的「一部份的點(x, y)」描畫出來所得到的圖形「不是」函數f(x)的圖形，因為這只是值域的部份，沒有定義域的部份，不算是函數，6.形如f(x)=ax+b的代數式，圖形是直線，是當x沒有範圍限制的時候，而當x有某種範圍限制時，它的圖形就有可能是點圖，7.因為q(a)=b ，就認為(a, b)是函數q(x)與y軸的交點，8.看不懂形如(a, f(a))這樣的符號；層次四：對於呈現被給定的常數函數的圖形，其方式不明確；層次五：1.函數的圖形一定不會是折線，2.代數式中，x代入正數，得到正的函數值者，圖形為東北西南向的直線，若所得的函數值為負，則圖形為西北東南向的直線，3.零函數、零次函數及一次函數判定上的錯誤；層次六：以為將x代值進去，得到的函數值較大的函數其圖形較陡；層次七：1. 以為只有在函數中才會「y=f(x)」，所以f（x）＝ax＋b是y＝ax＋b的另一種表示方式，2.對於f（x）＝ax＋b，以為a的絕對值越大時，x代值進去後的函數值跟這也較大，所以較陡；層次八：在研究期間我們看不到珊珊有這方面的發展。
（三）概念發展的過程中，影響Lily線型函數概念發展的可能因素有：1.起始知識的遺忘，2.教師的教學策略(幫學生複習舊有的相關知識)，3.起始知識的缺乏，4.起始知識的不熟悉，5.教師的教材教法與舊經驗的順向遷移之綜合影響，6.教師的教材教法，7.國編本數學第三冊(民87)的教材內容，8.舊經驗的干擾，9.學習過程中所接觸之例題、試題的題型，10.教師的教材教法與舊經驗的干擾之綜合影響，11.教師上課內容的干擾，12.與同學互動(Lily向同學請教)的品質，13.概念本身的特質與學生的學習狀況之綜合影響，14.教師的期望。
影響珊珊線型函數概念發展的可能因素有：1.疏於練習，2.教師的教材教法，3.舊經驗的順向遷移，4.舊經驗的順向遷移與學生的「學習傾向」之綜合影響，5.國編本數學第三冊(民87)的教材內容，6.舊經驗的干擾，7.與教師的互動(珊珊私下去請教老師)，8.學習過程中所接觸之例題、試題的題型，9.學生的「學習傾向」，10.教師上課內容的干擾，11.教師教學活動的安排，12.學生學習過程中「雙向思考」的經驗與其已發展的概念之綜合影響，13.數學焦慮，14.教師的期望，15.珊珊與同學的互動。
最後，對Lily和珊珊的線型函數概念的發展做綜合的比較分析，並根據本研究的過程及結果，提出了一些建議，以提供教師或未來的研究者做為參考之用。

關鍵字

線型函數 ； 層次

參考文獻

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