四階有限差分的薛丁格波動方程解

呂長和(Chang-Ho Lu)

指導教授 ： 謝秋雰

國立中正大學/理學院/地球與環境科學系地震研究所/碩士(2011年)

摘要

空間中的量子系統，包含量子井、量子線、以及量子點…等，欲解析這些空間量子系統的相關問題，其關鍵在於求解不含時薛丁格方程式。目前雖已有許多數值方法被應用於求解低維度的薛丁格方程式（量子井、量子線），但往往因為耗費大量計算機記憶體空間及高速運算效能需求的問題，限制了求解更高維度問題（量子點）的發展性。
本研究以一個位勢分布呈無限深方形阱型態的量子線系統為對象，發展出一種高階（四階）有限差分法，並據此將二維不含時薛丁格方程式改寫為離散化的形式，透過解析由所有格點構成的聯立方程式，有效地將不含時薛丁格方程式解構為本徵值的形式，得以進一步得到量子線系統在各種模態下的本徵能量以及波函數。相較於前人的研究，本方法以較少的格點即可得到較正確的結果與更完整的解析，而且節省較多的記憶體空間、也獲得了更佳的計算效率，使得推廣至解決三維問題可行性大增。另外，此方法對於簡併態的解析也可以全部一次計算完成。且在相同的記憶體空間需求下，採用四階有限差分相較於二階的方式，在較高模態的本徵能量求解時，在解析能力上有著更穩定的呈現。

關鍵字

薛丁格方程式 ； 有限差分法

參考文獻

Chang, L. L., L. Esaki, and R. Tsu (1974), Resonant tunneling in semiconductor double barriers, Applied Physics Letters, 24 (12), 593-595.

El-Moghraby, D., R. G. Johnson, and P. Harrison (2003), Calculating modes of quantum wire and dot systems using a finite differencing technique, Computer Physics Communications, 150, 235-246.

Kadow, C., A. W. Jackson, and A. C. Gossard (2000), Self-assembled ErAs islands in GaAs for optical-heterodyne THz generation, Applied Physics Letters, 76 (24), 3510-3512.

Konstantatos, G., and E. H. Sargent (2009), Solution-Processed Quantum Dot Photodetectors, Proceedings of the IEEE, 97 (10), 1666-1683.

Lia, Shu-Shen, and Jian-Bai Xia (2001), Electronic states of InAs/GaAs quantum ring, Journal of Applied Physics, 89 (6), 3434–3437.