仿射環與冪級數環上的正規化定理

On the Normalization Theorem for Affine Rings and Power Series Rings

康仕承(Shih-Cheng Kang)

指導教授 ： 朱樺

國立臺灣大學/理學院/數學研究所/碩士(2009年)

https://doi.org/10.6342/NTU.2009.01490

摘要

在第一節，我們給了一些正規化定理的應用和它的幾何意義。另外，我們敘述了這篇論文各章節所有主要的結果。從第二節到第五節，我們討論基本的正規化定理和一些特殊版本。在第六節，我們給了冪級數環上的正規化定理。在第七節中，我們先給了三種 Weierstrass Proposition Theorem 的證明。其中一個為我們可操作的長除法證明；而另兩個可以得到更強的結果。最後，我們使用 Weierstrass Proposition Theorem 去重新證明第六節的正規化定理，並更進一步的，我們可以證明在收斂冪級數環上的正規化定理。

關鍵字

正規化定理 ； 正規化引理 ； 維爾斯特拉斯預備定理 ； 仿射環 ； 冪級數環 ； 可離環

並列摘要

In Section 1, we give some applications of the normalization theorem and the geometric significance of the normalization theorem. Moreover, we state all main results among this paper. From Section 2 to Section 5, we discuss the basic normalization theorem and more special versions. In Section 6, we give the classical normalization theorem for power series rings. In Section 7, we give three proofs for Weierstrass Preparation Theorem. One of them is the long division algorithm and the others give us the stronger result. At last, we use the Weierstrass Preparation Theorem to reprove the normalization theorem for power series rings and for convergent power series rings.

並列關鍵字

normalization theorem ； normalization lemma ； Weierstrass Preparation Theorem ； affine ring ； power series ring ； separable ring

參考文獻

[1] S. S. Abhyankar and B. Kravitz, Two counterexamples in normalization, Porc. Amer. Soc. 135 (2007), 3521-3523.

[2] C. Chevally, Intersections of algebraic and algebroid varieties, Trans. Am. Math. Sec. 57 (1945), 1-85.

[4] E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Boston Birkhauser, 1980.

[6] M. Nagata, Some remarks on local rings, Nagoya Math. J. 6 (1953), 53-58.

[7] M. Nagata, Some remarks on local rings, II, Mem. Coll. Sci., Univ. Kyoyo 28 (1953-54), 109-120.