圓上四點的最小密度

本篇論文主要是在證明，在一個平面上，如果有一個集合是由四個不同的單位向量所形成，那麼此集合想要擁有最小密度的話，它的充分且必要條件為這個點集合裡的向量必定會形成一個正方形。而在一個平面上，對於兩個或三個單位向量所形成的集合，這兩種情形的最小密度問題也會加以討論，而結果分別是，一個集合如果是由兩個單位向量所形成，想要擁有最小密度的充分且必要條件為兩個單位向量是相反的；相同的，如果是三個單位向量所形成的集合想要擁有最小密度的充分且必要條件只有在此三個單位向量剛好形成一個正三角形時才會成立。如果在一個平面上，有一個集合是由n個不同的單位向量所形成，而此集合的密度我們將它定義為 δn(D)=Σ max p．q(p≠q, p,qεD) 在第一節裡，我們將討論在複數平面上有關旋轉與鏡射的性質。在第二節裡，我們將介紹密度的符號表示以及去解決兩個點或三個點的最小密度問題。在最後一節裡我們將會解決四個點的最小密度問題。因為在旋轉及鏡射下，密度是不會改變的，所以我們只需要去討論三種情形就可以解決這個問題。

關鍵字

密度；鏡射；旋轉

並列摘要

The purpose of this thesis is to prove that a set of four unit vectors in the plane which has a minimum density if and only if it is the vertex set of a square. The minimum density problem for a set of two or three unit vectors in the plane is also discussed, the solution is that they are a set of two opposite vectors or a vertex set of a regular triangle respectively. The density of a set D of n distinct unit vectors in the plane is the number δn(D)=Σ max p．q(p≠q, p,qεD) In Section 1, we study some properties about the rotations and reflections in the complex plane. In Section 2, we introduce the notion of density and solve the minimum density problem for two-point sets and three-point sets. In the last Section 3, we solve the minimal density problem for four-point sets. Since density is invariant under rotations and reflections, we need only to discuss three types of four-point sets to solve the problem