應用SCM於梁之強迫振動分析

Forced Vibration Analysis of Beam by SCM

張瑞源(Jui-Yuan Chang)

指導教授 ： 吳賴雲

國立臺灣大學/工學院/土木工程學研究所/碩士(2009年)

https://doi.org/10.6342/NTU.2009.03098

摘要

第一章 緒論
引言
今日人們在工程技術領域內，經過多年的研究，已累積了大量的科學知識，並利用這些知識建立了各種的數學模型或統計模型，來描述工程上的各種現象。
隨著數值解的發展及電腦的廣泛使用，出現了另一種新的數值方法—有限元素法。此方法將物體分割為元素，並對每一個元素以原來的控制方程式描述其行為，並組合成代數聯立方程式以電腦求解。但不論採用那一種數值方法，皆有其難以避免的缺點所在。舉例而言，有限元素法的缺點包括有：
1. 需對整個區域作離散，所需計算機容量大。
2. 不適於無限域或半無限域的求解。
3. 計算結果為所有自由度未知量，毫無選擇性。
4. 應力計算常需作微分處理，致產生較大誤差與不連續性。
5. 於包森比 (Poisson ratio)接近 0.5時，當需作特別的處理。

而在本文中，吾人將使用另一種數值分析方法SCM(Spline Collocation Method)來分析，試著將電子計算機的數值運算量減低，並減少由電子計算機運算所累積的誤差，期望能以最少的運算量與較高之收斂性來達成分析上的需求；同時，在點數之選取過多時，因為運算量大增，若已手算完成易浪費許多時間，且容易出錯。此時若能以電子計算機進行運算，可節省許多的運算時間，並減少運算累積的誤差，因此SCM處理複雜的結構物有相當大的優勢。

文獻回顧及研究方法
Bellman，Casti[1]於 1971年發表 DQM(Differential quadrature method)，而 Jang(1987) [2]、Striz(1989)以及Wang and Bert(1993) [3] [4]將 DQM 進一步應用於不同結構，而在國內，則有成功大學的陳長鈕教授在進行這種方法的研究，又顯示出，這是一種較 FEM 更為簡單省時的方法。
基本上，數值積分表示微分法 DQM 是一種結點佈置(Collocation)的近似方法，以避免複雜的積分的過程，以 Dirac delta functions 為工具，來決定各個結點應配的比重係數(Weight Coefficient)，以逼近不同控制方程式。
一般而言，DQM 的結點選擇數目較FEM少得多。 1975年，Prenter[5]引入了 Spline function 的觀念。最初 Spline function 被應用於數據擬合、表面擬合、曲線設計與內插法等，近年來則擴展至應用於求解微分方程及分析結構等問題。繼之Sahney(1978)與 Gu(1990)使用了 Spline介入 DQM之中，完成了SCM(Spline Collocation Method)與 SCEM(Spline Collocation Element Method)，更進一步修正了DQM的下述幾個缺點：
(1) DQM在邊界上必須擾動，易造成解答過程不確定性。
(2) DQM無法非常成功地解決集中力的問題。
(3) DQM有時會有解答發散的困擾。
既然 SCM與 SCEM能夠改善 DQM 的上述幾項缺失，同時又能保有SCM簡單而省時的優點甚至求得完整的精確解，實有極大參考價值與發展潛力，卻尚未為人所熟知，故值得吾人作進一步的研究。

本文大綱
本文共計分為五章，各章內容簡述如下：
第一章為緒論。
第二章為SCM基礎理論介紹。
第三章為SCM應用於等斷面梁之振動分析，並簡述其求解過程。
第四章為SCM於各型式等斷面梁之強迫振動分析
第五章為結論與未來展望。

第二章 SCM基礎理論介紹
Spline Collocation Method(SCM)理論介紹
在眾多已經發展的數值分析方法中，能滿足工程計算上需求的近似函數向來多為人們所研究探討，其中近似函數w(x)主要便是必須能滿足以下兩項束制條件：
在所有的結點上，其值都等於實際函數值，即w(xi)= f(xi)。
在w(x)曲線上必須連續可微分且具光滑性(Smooth)。
SCM是一種近似的數值方法，可被用於解決表示結構問題的微分控制方程，其原理係使用Spline function來建立一平滑連續之近似函數w(x)，並在近似函數w(x)上離散出許多結點 (Knots)，而利用這些離散結點上的控制方程式以及各種不同支承的離散邊界條件來推導出各個結點與吾人所欲求之實際解析函數f(x)之關係，藉此而達到近似的效果。其簡單的示意圖，請參照下圖所示：

圖2. 1近似曲線逼近實際曲線示意圖
然而SCM與FEM亦有些許的差異，首先FEM將未知連續體分割成一個有限元素相互連接的組合體，元素之邊界點則稱為節點(Node)，且在每個節點上攜帶一條數學方程式，稱之為內插函數方程式 (Interpolation Equation)，並藉由有限個內插函數方程式來表達該連續體之分析行為。
其次SCM則是把連續體模擬成許多類似繩結的結點(Knots)，並以Spline function代入所描述結點的控制方程式來取代內插函數方程式而表達該連續體之分析行為。
最後是在作常微分或偏微分方程式的近似時，SCM是直接在結點上取其微分控制方程，並以Spline function近似模擬解析函數；而FEM則是取定義在元素上的近似多項式去作微分的近似。

Spline Collocation Method(SCM)理論推導
於SCM中，近似函數是w(x)以多項式的形式疊加，其形式如下：
(2.1)
其中ai為未定係數，Bi(x)即為Spline function。
依照吾人所欲求結構物控制方程式的複雜性，Bi(x)又可以有許多不同的選擇，從一階，二階，∙∙∙，一直到任意的m階皆無不可，其中三階又稱為Cubic Spline function，五階又稱為Quintic Spline function。而Bi(x)之選擇與其所對應的微分方程式有關，即不同微分方程，應該選擇不同的Bi(x)來求解，而各階的Bi(x)則是由Forward Difference所推導求得。由於本文中所討論為梁振動問題，由其控制方程式中得知為四次微分方程，因此吾人對於四次微分控制方程式必須挑選5-th(Quintic B Spline)作為合理的模擬而各階的Spline function則是由forward difference所推導運算獲得的，其中相關定理之細部證明，因其過程繁複，在此予以略過，讀者請參考Prenter, P. M.所著Splines and Variational Method一書[5]。

SCM之表格化
雖然已由本文中(2.8)式求得五階Bi(x)函數，但在應用上仍嫌繁複而不甚方便，為了便於使用，吾人嘗試將其表格化。以五階Bi(x)函數而言，在仔細觀察的過程中發現，以任意一結點xi為例，其相關之Bi(x)函數值僅止於其所對應之Bi(xi)及左、右相鄰各兩點有值(第三點以上或以下皆為零)，故在做矩陣分析時將會產生一具有帶寬之矩陣。於是吾人試著整理這些鄰近結點的Bi(x)函數值，而製作出一份完整的五階Bi(x)函數結點值表格，以後即可查表求得其相關數值。整理後得到一完整的五階五階B_i (x)結點值表格：
表2. 1 Values of Quintic Spline Function at Knots
Xxi-3xi-2xi-1xixi+1xi+2xi+3B_i (x)0126662610B_i^((1) ) (x)05/h50/h0(-50)/h(-5)/h0B_i^((2) ) (x)020/h^2 40/h^2 (-120)/h^2 40/h^2 20/h^2 0B_i^((3) ) (x)060/h^3 (-120)/h^3 0120/h^3 (-60)/h^3 0B_i^((4) ) (x)0120/h^4 (-480)/h^4 720/h^4 (-480)/h^4 120/h^4 0此表在使用上甚為便利，可隨查即得，亦同時可將之矩陣化以方便吾人運用，如此即不再困擾於頗為繁複的Spline function。尤有甚者，如能將此表格編寫成電腦程式，即使所需結點的數目增加，吾人亦可藉由電腦程式求得。

SCM的符號規定
本文採用SCM之符號系統為：
(1)位移向上為正，轉角順時針為正
(2)彎矩M上部受壓為正。
剪力V順時針向為正。
SCM載重之模擬
在 SCM 中，對於載重的模擬，吾人之模擬目標是能以較適切的方式來模擬載重的型態，對於較複雜的載重也能快速的解決，在此吾人所採用的模擬的方式是對載重做線性內插，以模擬集中載重及非線性的載重形式。
(1)集中載重：
對於模擬集中載重，本文是以一個三角型分佈載重作用在集中載重所在位置及其附近結點來模擬之，當所選取的結點數增加時，三角型會趨近於細長，其結果將近似於集中載重。
(2)分佈載重：
吾人對於分佈載重可以模擬成相鄰結點間的線性分佈載重。因而非線性在結點取得較多的情形之下，也能很近似的模擬。

SCM求解過程介紹
(1) 依照不同結構物求得其控制方程式及邊界條件式。
(2) 由控制方程式決定 函數，求得近似函數 以模擬實際函數。
(3) 將控制方程式轉換為以SCM格式表示。
(4) 使結構物離散為n個節塊，因而產生n+1個結點。
(5) 並將近似函數 代入各個結點之控制方程式，以推導出近似離散結點控制方程式。
(6) 代入離散化之邊界條件，並配合已得之各個離散結點控制方程式，得到離散化控制方程系統。
(7) 將其化成矩陣形式，問題轉為求解多元一次線性聯立方程組，即可用一般求解多元一次聯立方程式的數值計算方法求解。
或者根據各種不同問題的需要，須先將控制方程系統轉為求解特徵值系統，以求得問題所需之特徵值及其相對應的特徵向量。

第三章 SCM應用於等斷面梁之振動分析
本章將對簡單連續體之梁振動進行分析研究。離散體系與連續體系不過是對同一實際結構系統之使用兩種不同數學模式表達方式而已；將實體之運動簡化成有限個離散座標表示，使系統僅在該等座標處具有剛性質量元素，而座標與座標間則為無質量之柔性連結元素，此時所建立之運動方程式為常微分方程。若離散座標之數目延伸至無限多個則成為連續體系其運動方程式將變成偏微方程，因此對某連續體系統有關性質等公式之推導，可視為其對應離散體系之極限狀況。兩者所獲得之動力反應行為將相近似。

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關鍵字

數值分析 ； 強迫振動

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SCM

參考文獻

[17] 吳兆民“SCM 於梁振動之分析”，碩士論文，吳賴雲、鍾立來教授指導，國立台灣大學土木工程學研究所，2006。

[16] 戴薏燈“SCM 於彈性基礎上樑柱之分析研究”，碩士論文，吳賴雲、鍾立來教授指導，國立台灣大學土木工程學研究所，2005。

[1] C.W. Bert, Youngkwang Sheu, 1996, 〝Static Analyses of Beams and Plates by Spline Collocation Method〞, Journal of Engineering Mevhanics (April), 375-378.

[2] S.K. Jang, 1987,〝Application of Differential Quadrature to Static Analysis of Structural Components〞, PhD dissertation, The Univ. of Oklahoma, Norman, Okla

[3] C.W. Bert, A.G. Striz and W. Chen, 1994,〝Static analysis of structures by the quadrature element method〞, Int.J. Solids Structures, Vol. 31, No. 20, 2807-2818.