臺灣師範大學數學系學位論文
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輔助問題原理允許我們藉由解決輔助問題的一個數列去尋找最佳化的問題(例如：最小化問題，鞍點問題，變分不等式問題，...等）的解。 根據 Cohen 的輔助問題原理，我們介紹並分析一個演算法來解決一般性的變分不等式 VI（T，C）問題。 為了解決關於一般的非單調算子在自反的巴那赫空間中多值的變分不等式問題，所以在這篇文章裡，近似方法的觀念被介紹而且一個收斂的演算法也被提出。而我們文章的目標就是為了輔助問題原理去建立類似的連結。事實上，這篇論文的要旨有兩層： (1）一般化單調算子的條件之下，以輔助問題原理為基礎， 我們處理演算法的收斂性，例如: pseudo-Dunn property，強偽單調性，$alpha$-強偽單調性，...等。 (2）我們提出一個修改的演算法，在一個缺乏強單調性質的輔助函數條件之下，來解決變分不等式的解之收斂性。
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摘要 本論文主要探討一些固定點定理以及一些推廣型KKM定理，並將這些結果應用到一些相關課題上。如：匹配定理、擬平衡點、擬變分不等式等。 本論文共分為三章，第一章探討有關向內地(inward)收縮和非擴張函數的固定點定理以及二函數的同值點定理。第二章則先引入一些非凸集合，探討其性質，再進而探討在這些非凸集合上的一些推廣型S-KKM定理、匹配定理、擬平衡點存在性定理等。在本章中並引入一個新的函數族：Q(X,Y)，探討其性質及相關定點定理。第三章則探討在均勻空間上可逼近(approachable )函數族的一些性質，及固定點定理以及二函數的同值點定理。 本論文內容主要藉由探討近年來一些學者的相關論著，並引入一些新的函數族，探討其性質，進一步推導出更廣的結果，這些結果涵蓋了許多學者的一些結果。
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李朝的算學發展過程中，世宗朝可說是一個黃金時期。算學興起的原因，史家們認為是因為世宗朝大規模的測地量田，算學需求大增所致。然而，他們卻忽略了開國太祖及後繼的太宗時期，也都進行大規模的量田事業。當然，測地量田的事業使得算學的需求增加，但並不能使得算學就此興起才是。事實上，從《世宗實錄》的記載，算學的興起應始於對天文曆算的重視。在對李朝世宗時期的朝鮮算學發展進一步瞭解之後，我們可以清楚的得知，世宗大王對朝鮮數學發展的貢獻。世宗極力想掌握天文曆算的企圖心與擁有能自行造曆、頒行精準不輸中國曆法的能力，重用了算學人才及培養了算學人才，使得算學得以興起。 世宗朝之初期，由於對於天文曆算掌握的迫切性，對於算學人才就更加地渴望。世宗朝的數學教育，因天文曆算的需求與測地量田等需求而受到重視。世宗先後設立了「習算局」、「算法校正所」與「曆算所」以因應算學人才的需求。其中，「曆算所」的設置，更是集『歷代算學之法』於一身，它的考講制度更是讓世宗朝的算學人才相繼而出。誠如世祖朝的吏曹所言：『若無曆算所，我國知算法者絕無矣』。 曆算所的算學人才養成教育，使得曆算學官的數學能力不僅『粗習乘除』而已，「開方」、「開立方」、「三乘方」、「四乘方」以至「九乘方」，還有「方程正負」、「開方釋鎖」、「度高測深」、「重表」、「累矩」、「三望」、「四望」以及「勾股」與「重差」的方法，都是必備的素養。透過交流傳入朝鮮半島的《楊輝算法》、《算學啟蒙》及《詳明算法》，對李朝數學史的影響相當大。其中，尤以《算學啟蒙》和《詳明算法》，在後來的著作中被大量引用，顯示世宗時期的朝鮮數學發展，對於後世的影響，也更加肯定世宗時期中韓數學交流所注入的一股『活力』的意義了。
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所謂「勾股術」，又可稱為「勾股算術」，即指以勾股定理為核心而發展出的算法或公式，其中又可分為勾股互求、勾股測量、勾股容圓、勾股容方、勾股比率及整數勾股等等。中國勾股術的形成甚早，其起源乃在於窺天測地的需要。現存中算史料中，以《周髀算經》及《九章算術》最先提及勾股術，兩者皆只給出算法。在此之後，歷代算家對勾股術多所研究。其中，理論性的論述則首見魏晉南北朝的劉徽及趙爽，兩人分別利用「出入相補法」來進行勾股術的幾何證明工作。而到了宋元時期，算學家更發展出了「天元術」及「四元術」，採用代數的進路來研究勾股，突破了幾何方法的限制。與此相較，從1368年明代朱元璋開國至清代算家李銳在1806年撰成《勾股算術細草》為止，期間勾股術的發展，也是由算術進路到幾何進路最後走向代數進路。整體來說，1368-1806年間勾股術的發展似乎與明代之前有著些許的類似性。 雖然如此，但當我們仔細檢視明代至清中葉的勾股術之發展後，即可了解兩者在本質上有著極大的不同。然而，除了少數算家之外，這一時期的勾股術基本上沒有受到相當的重視及討論，特別是明代算學的部分。所以，筆者認為有必要對1368-1806年間的勾股術之發展作一詳細的分析。 為此，本論文將以勾股術中的「勾股互求」為主軸，透過對十部相關文本的分析，來探討1368-1806年間勾股術的發展。這十部算書分別是吳敬的《九章算法比類大全》、王文素的《算學寶鑑》、顧應祥的《勾股算術》、周述學的《神道大編曆宗算會》、程大位的《算法統宗》、徐光啟的《勾股義》、方中通的《數度衍》、梅文鼎的《勾股舉隅》、康熙御制《數理精蘊》以及李銳的《勾股算術細草》。除此之外，由於這一時期跨越明清兩代，算學家對勾股術的研究內涵改變甚巨。尤其是在西學輸入後，中算家對西方數學之學習與會通，以及乾嘉時期以「西學中源」為中心的學術風潮，在在皆與勾股術有密切的關係。所以，經由對這十部算書的研究，正可以了解此一時期算學家對勾股術的看法之不同面貌，進而探討算學家之間的交流與影響。
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Phi係數的歷史相當悠久，它主要是用在兩個自然的二分類變項所形成的2×2列聯表，可以測量這兩個變項的關聯性。本論文的目的是把傳統上由兩個二分類變項所得的phi係數推廣到任意k個二分類變項，而推得 k*(k-1)/2 個phi係數滿足近似聯合常態分佈，並進而導出多個phi係數的聯合信賴區間，多維phi係數的雙尾檢定，模擬較小樣本的臨界值，並討論檢定力。
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We consider the null boundary controllability for a one-dimensional fourth order semilinear parabolic equation. We show that if the initial data is continuous and sufficiently small, then the fourth order semilinear parabolic equation is controllable.
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摘 要 本研究主要為探索個體於幾何解題活動時之動態心像的類型與運作機制，以及動態幾何環境對建構動態心像的影響。據此目的，選擇台北市內湖區某公立國中二年級之兩個班級作為研究對象，並將其分實驗與控制兩組；全程參與之學生共計63名，並從實驗組分層隨機抽樣選取14名個案，以經審訂之問題進行個案訪談，依此探究個體原生型之動態心像的種類與運作機制，而後以動態的觀點整合GSP環境設計實驗教學活動。於活動中期及結束時各進行一次訪談，並於末了進行紙筆測驗，以瞭解學生的變化及評估實驗組相對於控制組的學習成效。 研究方法採質與量並重的方式進行，以質的詮釋性研究探究個體心像操作的機制，而以紙筆測驗之結果進行統計分析，由此獲得學習成效評估及各試題作答情形之關連性。依所得資料之類型，以紙筆測驗、個案動態心像類型、個案解題認知歷程分析與個案縱向分析等分別描述與討論本研究之發現。 針對研究目的，本研究之主要的研究結果如下： 1. 本研究發現14名個案皆會產生動態心像，且可將其引入解題活動中，然而不同的學生操作心像的頻率並不相同，與層次無關，唯高層次學生運用動態心像解題時較有系統。 2. 在以動態及靜態語意所佈置之問題情境中，台法兩地學生的表現恰好相反，其中台灣的學生較偏好動態語意情境，其原因為學生可因此引進動態心像，擬定自己所認為之較佳的解題策略。 3. 本研究所發現之動態心像類型有割補、變換、拓樸與動態模擬等四種主類型；除拓樸型之外，其餘三類可作為具威力之解題方法，而拓樸型雖不具此能力，然而仍對解題具有輔助的功能。 4. 個體於解題活動中所運用之動態心像類型通常與問題情境有關，不過某些學生易傾向某種類型之心像操作方式。 依據研究之結果，教師在進行教學時，應特別注意動態與靜態語意對學生理解方式與解題方法的影響，並且應以較為有系統的方式，配合動態幾何工具的使用，培養學生運用動態心像以增強學習的成效。未來則可以較多的樣本數、專家與生手的對比，以及幾何、分析與調和等類型的個體是否傾向使用某種特定類型之動態心像等方向進行相關的研究。 關鍵字：動態幾何軟體、動態幾何環境、心像、心像操作、動態心像
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