片秩法及其應用

Slice Rank Methods and Their Applications

張哲睿(Che-Jui Chang)

指導教授 ： 沈俊嚴

國立臺灣大學/理學院/數學研究所/碩士(2022年)

https://doi.org/10.6342/NTU202200962

摘要

片秩法 (Slice Rank) 是 Croot, Lev 以及 Pach 於2016年提出的一個新的組合數學工具，許多極值組合學當中的問題都透過了這個方法有了新的進展。在這篇論文中，我們會介紹片秩法及其應用，同時我們也會介紹劃分秩法 (Partition Rank) 及其應用。最後我們會利用片秩法以及隨機圖的定理證明直角移除定理。

關鍵字

片秩法 ； 劃分秩法 ； 極值組合 ； 直角 ； 移除引理

並列摘要

Slice rank methods are new combinatorial tools introduced by Croot, Lev, and Pach in 2016. Many problems in extremal combinatorics are improved by applying the slice rank methods. In this thesis, we'll introduce the slice rank methods and their applications. Moreover, the partition rank and one of its applications are also introduced. Finally, we use slice rank methods and a random graph theorem to prove the right angles removal lemma.

並列關鍵字

slice rank ； partition rank ； extremal combinatorics ； right angle ； removal lemma

參考文獻

[1] N. Alon and J. H. Spencer, The Probabilistic Method, Wiley Publishing, 4th ed., 2016.

[2] E. Bannai and E. Bannai, An upper bound for the cardinality of an s-distance subset in real Euclidean space, Combinatorica, 1 (1981), pp. 99–102.

[3] M. Bateman and N. H. Katz, New bounds on cap sets, J. Amer. Math. Soc., 25 (2012), pp. 585–613.

[4] M. Bennett, Occurrence of right angles in vector spaces over finite fields, European J. Combin., 70 (2018), pp. 155–163.

[5] B. Bukh, Non-trivial solutions to a linear equation in integers, Acta Arith., 131 (2008), pp. 51–55.