基於古典同位元檢查矩陣的量子穩定碼之進一步研究

A Further Study on Quantum Stabilizer Codes Based on Classical Parity-Check Matrices

李名哲(Ming-Che Li)

指導教授 ： 呂忠津

國立清華大學/電機資訊學院/電機工程學系/碩士(2008年)

摘要

近十年來，因量子電腦建構方法的提出，量子領域的研究開始蓬勃地發展，為了解決量子態會因環境的影響產生相消干(decoherence)的問題，以及在量子通訊上通道的影響，如何更正量子位元的錯誤，是量子錯誤更正碼研究的主要目標。其中量子穩定碼是最為廣泛研究的量子錯誤更正碼，因為量子穩定碼可藉由古典的同位元檢查矩陣來建構，並藉由錯誤徵狀來偵測並修正量子位元錯誤，和古典的線性碼有很多類似的性質。然而，量子穩定碼建構相關的檢查矩陣須滿足交換關係，使得量子穩定碼一直未能有較CSS建構法更簡單的建構方式。

在本篇論文裡，我們針對量子穩定碼的檢查矩陣建構法，提出如何簡單滿足交換關係的建構方式。首先，我們提出使用古典循環碼的建構法，藉由生成矩陣的一些變化，可以簡單地滿足交換關係，但是量子最小碼距，仍未有方法使其達到最大限度。其次，我們研究使用二元二次剩餘碼的特性來建構的兩種量子穩定碼－CSS建構法和量子二元二次剩餘碼，比較兩種建構法下其量子穩定碼的特性，包括適用碼長、最小碼距。藉由量子二元二次剩餘碼的啟發，[[n, 1]]量子穩定碼已被發現可藉由某些指引向量簡單地建構出來，我們針對指引向量，提出一個建構準則和相關的性質。接著我們將該種建構法延伸發展，提出[[n, k]]量子穩定碼的簡單建構方式，並指出該量子穩定碼最小碼距和指引向量之間的關係。但如何使得建構的量子穩定碼可以達到最小碼距的最大限距，則是未來可以思考及研究的方向。

關鍵字

量子錯誤更正碼 ； 量子穩定碼 ； 二次剩餘碼

並列摘要

In the study of quantum error-correcting codes, stabilizer codes is perhaps the most
important ones and can be constructed by classical self-orthogonal codes. In this thesis,
our aim is to pursue a further study of the structure of quantum stabilizer codes based
on syndrome assignment by classical parity check matrices. We proposed a construction
by using two cyclic codes. We also found the normalizer of quantum quadratic-residue
codes, which helps nd the minimum distance. Finally, a construction of [[n; k]] quantum
stabilizer codes with k > 1 was proposed.

並列關鍵字

Quantum error-correcting codes ； Quantum stabilizer codes ； Quadratic-residue codes

參考文獻

[1] W. K. Wootters and W. H. Zurek, "A single quantum cannot be cloned," Nature,

[2] P. W. Shor, "Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory,"

Phys. Rev. A, vol. 52, p. 2493, 1995.

[3] A. M. Steane, "Error correcting codes in quantum theory," Phys. Rev. Lett., vol. 77,

[4] A. R. Calderbank and P. W. Shor, "Good quantum error-correcting codes exist,"