高中學生複數概念學習之錯誤類型分析與研究

郭嘉聲

指導教授 ： 謝豐瑞

國立臺灣師範大學/理學院/數學系在職進修碩士班/碩士(2011年)

摘要

本研究目的在探討高中生學習『複數概念、複數的四則運算、複數平面、複數絕對值及其幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、複數的n次方根及複數的n次方根之幾何意義』時，所出現的概念學習上之錯誤類型，並探討錯誤概念產生的原因。
基於研究目的與研究問題的考量，本研究偏向量的研究，並以質性分析作為研究與探討的輔助參考，研究樣本是研究者所服務的台中市某公立高中三年級學生共106位同學。研究方法兼採開放性問卷調查法與半結構性晤談法兩種方法進行，先針對106位高三學生作『複數瞭解情形』問卷試題作答之後，再選出適當的20位學生作晤談，以瞭解高三學生在學過高中所介紹之全部的複數單元後，到底對於複數還存有怎樣的錯誤概念？研究工具採『複數瞭解情形』問卷評量試題來做『診斷』，先針對學生在複數單元錯誤概念情形做調查，統計每一小題的答錯率，經整理、歸納出學生的錯誤類型，再以晤談方式進一步瞭解學生實際在複數單元的學習狀況以及產生概念錯誤的原因。
根據本研究的結果發現，高中生在學習『複數概念、複數的四則運算、複數平面、複數絕對值及其幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、複數的n次方根及複數的n次方根之幾何意義』時所出現的錯誤概念，歸納整理有以下八大類別：
一、不清楚虛數單位 i 的定義，所產生的認知錯誤概念；二、將實數不等式的舊經驗運算推廣到複數的運算，所產生的錯誤概念；三、對於方根與虛數單位i的化簡運算之判斷能力不足；四、不太理解複數幾何表徵與絕對值的運算、幾何意義；五、對於複數極式的形式與極式的幾何意義無法正確表達；六、在複數的n次方根(n≧2)定義與運算方面缺乏自信與計算能力；七、不清楚複數的n次方根(n≧2)的幾何意義而產生思維紊亂現象；八、處理複數問題時，相關的先備知識不足。
將以上八大類別，詳細分成如下16種主要的錯誤類型：
(1)對虛部的定義不清楚或受直觀影響而產生誤解。(2)對於含有虛數單位i的複數之比較大小之概念，受到實數系比較大小的運算方式作錯誤類推判斷。(3)不習慣或不瞭解當a＜0時，要先將 化簡為 ＝ × ＝ × i ，導致在方根的化簡過程產生運算錯誤。(4)受到實數正平方根的乘、除法運算的類推影響，導致運算概念混淆不清； 以為不論a , b 的正負，都可以作 × ＝ 與 ＝ 的合併或分解運算。(5)把實數絕對值的舊經驗解法完全套用在複數絕對值的認知概念錯誤。(6)不清楚或自行建構複數絕對值的定義而產生的錯誤運算。(7)不清楚或不會判斷複數絕對值的幾何意義。(8)無法以正確公式或方法處理複數的絕對值乘除問題。(9)無法將複數a＋bi (a,b為實數) 正確地化成極式的形式。(10)對於極式的乘、除運算與幾何意義之學習感到困難。(11)對於棣美弗定理，無法正確地使用公式與運算來解題。(12)無法正確地、有效地處理複數的n次方根的相關問題。(13)不瞭解如何在複數平面上找出這n個根的位置。(14)誤認為只要是一元n次方程式的n個根，在複數平面上一定可以圍成一個正n邊形。(15)對複數平面上之點的位置描述不瞭解。(16)不清楚一個複數的極式表示法在複數平面上，這個數與原點的距離以及輻角(方向角)的判別。
最後根據本研究所得到的結果加以分析、討論，並作成檢討與提出建議，
希望提供給將來的教科書編寫者、第一線的高中數學教師、以及改進評量測驗之用，或提供給高中數學教師作為本單元的補救教學時，可以針對這幾種錯誤類型多再加強講解與說明，期能適時糾正學生對於上述這些錯誤概念與運算，但願以此研究的結果作為高中數學教師加強複數單元教學的參考之用，甚幸。

關鍵字

複數 ； 概念學習 ； 複數的四則運算 ； 複數平面 ； 複數絕對值及其幾何意義 ； 複數的極式 ； 複數的極式乘除法及其幾何意義 ； 棣美弗定理 ； 複數的n次方根 ； 複數的n次方根之幾何意義 ； 錯誤概念

參考文獻

教育部 (2000 )：國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。台北：教育部。

張景媛（1994）：數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究。國立臺灣師範大學心理與輔導學系教育心理學報，27期，175-200頁。

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