Ricci flow 的短時間存在性

Short Time Existence of Ricci Flow

張仲皓(Chung-Hau Chang)

指導教授 ： 張樹城

國立清華大學/理學院/數學系/碩士(2006年)

摘要

Hamilton在1982年證明了Ricci 流的短時間存在性，不過那個方法太過於複雜，於是在1983的時候，Deturck用了比較簡單的方法來解決這個問題，他建構了一個擴充的Ricci 流然後讓他是一個偏微分方程上的嚴格拋物系統，於是這時候我們就可以有古典的偏微分理論來說明Ricci 流有短時間的存在性。
首先我們觀察Ricci 流的線性化，藉由線性化來觀察他是一個怎樣的偏微分方程，這時必須計算Ricci 曲率對時間的微分，然後藉由符號的判斷，我們可以知道Ricci曲率的微分並不是一個嚴格拋物，但是在計算的過程中，我們不難發現，似乎只要做些小改變，把多餘的項消除掉，就會得到我們想到的答案，於是這時我們在Ricci曲率後面加了二項，建構出一個擴張的流，也就是Deturck-Ricci流，然後對這個Deturck-Ricci流做線性化來看，然後用符號的判定方法來判定，我們就可以知道他是一個嚴格拋物的系統，這時候根據古典的偏微分方程理論，我們得到了存在唯一解。
接下來，我們建構一個微分同胚，使得他滿足某些性質，在Ricci流Deturck-Ricci流之間建構一個橋樑，讓Deturck_Ricci流得到的存在唯一性可以推回Ricci流的存在唯一性。

關鍵字

嚴格拋物

並列摘要

In this thesis, following the Deturck-trick, we do the linearization of modified Ricci flow and show that it is strickly parabolic. As a consequence, we prove the short time existence of solution of Ricci flow.

參考文獻

[1] R.Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Diff. Geom. 17, 1982, pp.255-306.

[2] Deturck, Dennis M. Deforming metrics in the direction of

their Ricci tensors. J. Differential Geom. 18, 1983, no. 1,

157-162.